viernes, 18 de diciembre de 2009

Entre los principios de Jordan y Gilbreath

Como es sabido, el principio de Gilbreath (de 1958) afirma, a grandes rasgos, que si una baraja de m·n cartas está formada por m grupos igualmente ordenados de n cartas cada uno, donde las cartas de cada grupo mantienen el mismo orden respecto a alguna característica, al invertir un grupo de cartas y realizar una mezcla por hojeo, la baraja sigue quedando formada por m grupos de n cartas, donde cada grupo contiene una carta de cada tipo.
Por ejemplo, si n=4 (que pueden ser cuatro cartas de palos diferentes) y la baraja mantiene siempre el mismo orden de dicha característica (es decir el orden de los palos es siempre el mismo), el proceso anterior hace que cada cuatro cartas haya siempre una de cada tipo (en este caso habrá siempre una de cada palo) aunque no se mantenga el mismo orden inicial.

El hecho de invertir inicialmente un grupo de cartas hace que se obtengan propiedades adicionales a las que se deducen de una simple mezcla por hojeo, propiedades ya estudiadas en la década de 1920-1930 por Charles Jordan y otros.

Recientemente, Colm Mulcahy en su columna Card Colm, establece lo que él llama el principio Bligreath, una especie de híbrido entre ambos, aunque él lo considera una extensión del principio de Gilbreath.

El principio Bligreath afirma que, si tenemos un paquete de m·n cartas formado por m grupos igualmente ordenados de n cartas cada uno, donde las cartas de cada grupo mantienen el mismo orden respecto a alguna característica, si cortamos entre dos conjuntos de n cartas (lo que significa que las cartas inferiores de cada paquete son del mismo tipo) y realizamos una mezcla por hojeo, la última carta de cada grupo de n cartas da información sobre el resto de las cartas de dicho grupo aunque no del orden en que se encuentran.

Veamos, mediante algunos ejemplos, el tipo de información que se obtiene.
  1. n = 2
    Dado un paquete de cartas ordenados según la disposición:
    A♣, 2♠, 3♣, 4♠, 5♣, 6♠, 7♣, 8♠, A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
    donde se alternan los valores pares e impares, al separar los montones negro y rojo y hacer una mezcla por hojeo, observamos que las dos primeras cartas del paquete resultante sólo pueden ser de dos tipos, impar-par (A♣, 2♠ ó A, 2), o impar-impar (A♣, A ó A, A♣). Es evidente entonces que la paridad de la segunda carta determina la de la primera.

  2. n = 4
    Si tenemos un paquete de 4m cartas ordenadas por palos según una misma secuencia, digamos , ♣, , ♠, después de cortar por una carta de picas y mezclar por hojeo, el palo de la cuarta carta da información sobre los palos de las otras tres.
    Si la cuarta carta es de rombos, tiene que ser la primera de uno de los montones de modo que las otras tres son las primeras del otro montón, es decir de rombos, tréboles y corazones.
    Si la cuarta carta es de tréboles, una de las restantes será la carta anterior de su montón y las otras dos serán las primeras del otro montón, es decir dos de rombos y una de tréboles.
    Si es de corazones, ninguna de las tres primeras puede ser de picas, pero habrá dos de rombos y una de tréboles.
    Si es de picas, las tres restantes serán de rombos, tréboles y corazones.
    Un razonamiento similar puede hacerse con las cuatro últimas cartas.

  3. n = 13
    Supongamos que la baraja está ordenada en cuatro grupos de 13 cartas, donde cada grupo contiene las cartas en orden creciente (del as al rey). Cortamos por la mitad y hacemos una mezcla por hojeo. A continuación repartimos cuatro montones de trece cartas y giramos la carta superior de cada montón. Digamos que dichas cartas tienen valores 6, J, 7 y K (de hecho esta última carta no es necesario ver pues siempre será una K).
    Está claro entonces que el primer paquete contiene cinco parejas (del as al cinco), un seis (aparte del visto) y un 7.
    El segundo paquete contiene un siete, parejas de ochos, nueves y dieces, otra J (aparte de la vista) y cuatro cartas desparejadas, Q, K, As y 2.
    El tercer paquete debe contener las cartas Q, K, As, 2 y parejas de treses, cuatros, cincos y seises.
    El último paquete contiene las cartas restantes, un siete y parejas de 8, 9, 10, J, Q y K.

    La fórmula general para determinar la composición de cada uno de los paquetes, establecida por Leo Boudreau, es la siguiente:

    Si Y es la carta que está a la vista en el paquete y X es la carta vista en el paquete anterior, las trece cartas del paquete son:
    {X+1, X+2, ..., Y} y {14-X, 14-X+1, ..., 13-Y}
    (supuestos dichos valores módulo 13, es decir restando 13 a los valores mayores que 13).

    La fórmula también es válida para el primer paquete tomando como carta clave la vista en el último paquete.

    Esta fórmula puede generalizarse también a otros valores de n.

Observación.
Para evitar que un espectador pueda sospechar alguna ordenación previa al ver la disposición de las cartas después de la mezcla, se pueden mezclar los paquetes antes de mostrar los resultados de la predicción.

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